落秋文学

六 离散傅里叶变换（第5页）

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Mkn

若在序列x[n]之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为

?

x

'[k]=M-1

Σ

n=0x'[n]e-i2π

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Mkn=Fx'

因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了栅栏，因而能够从其他位置进行观察。

频谱分辨率

N点DFT的频谱分辨率是2πN。一节指出可以通过补零观察到更多的频点，但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n]实际上是x（t）采样的主值序列，而将x[n]补零得到的x'[n]周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x（t）的采样。因此?

x

'

与?

x

是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2πM仅具有计算上的意义，?

x

'

并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能通过提高采样频率实现。

从空间的角度分析

周期为N的离散信号构成一个N维欧氏空间。在这一空间上两个信号x和y的内积定义为

〈x，y〉=N-1

Σ

n=0x[n]y*[n]

下面给出上的一组正交基：

{ek[n]=ei2π

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Nkn}0≤kN

将信号x在这组正交基上分解，得

x=N-1

Σ

k=0〈x，ek〉

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‖ek‖2ek