落秋文学

六 离散傅里叶变换（第2页）

都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x和?

x

都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x（t）时限于[0，L]，再通过时域采样将x（t）离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=LT。

xdiscrete（t）=x（t）N-1

Σ

n=0δ（t-nT）=N-1

Σ

n=0x（nT）δ（t-nT）

它的傅里叶变换为

?

x

discrete（ω）=N-1

Σ

n=0x（nT）Fδ（t-nT）=1

--

TN-1

Σ

n=0x（nT）e-i2πnωT

这就是x（t）时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号?

x

（ω）

应当带限于（0，1T）。由于时域信号时限于[0，L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1L。故，频域采样点数为

1T

-----

1L=N

即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为{ωk=kNT}0≤kN在DTFT频域上采样：

?

x

[k]=?

x

discrete（ωk）=1

--

TN-1

Σ