落秋文学

三 对三角函数的贡献（第2页）

直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出："三角函数是一种函数线与圆半径的比值"。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP（即函数线）相互之间所取的比值（如图八），sinα＝MPOP，POM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。

尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。

"正弦"的由来

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

三角学中"正弦"和"余弦"的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应（如图五），这样，他们造出的就不再是"全弦表"，而是"正弦表"了。

印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为"吉瓦"，是弓弦的意思；称AB的一半（AC）为"阿尔哈吉瓦"。后来"吉瓦"这个词译成阿拉伯文时被误解为"弯曲"、"凹处"，阿拉伯语是"dschaib"。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了"sinus"。

三角学输入我国，开始于明崇祯4年（1631年），这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sinus译为"正半弦"，简称"正弦"，这就成了正弦一词的由来。

"弦表"问世

根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A'C'，A''C''…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克（Hipparchus，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长（如图三）。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为"partesminutaeprimae"和"partesminutaesedae"；后来，这两个名字演变为"mi;和"sed"，成为现在角和时间的度量上"分"和"秒"这两个单位得起源。

建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如60o弧（16圆周长）所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60o弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的160为一个单位）；用同样的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所对应的弦值（如图四）。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用现在所称的"托勒密定理"，来推算两条已知所对弦长的弧的"和"与"差"所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。

补充:60进制

60进制以度为单位，将圆周分成360等份，每一份所对的圆心角叫做1度，1度有60分，1分60秒。在时间上，1小时有60分，1分60秒。这种60进制起源于巴比伦是1854年由欣克斯（EdwardHincks，1792-1866）研究泥板上的楔形文字所发现的，这些泥板是公元前2300-1600年的遗物。EdwardHincks是爱尔兰人，以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称于世。

巴比伦人为什么用60作为进位的基数呢？这是很有趣的问题，引起后人的种种猜测。以下我就列举几个有趣的例子。

（1）数学史家M。康托尔（MoritzBeor，1829-1920）曾认为他们最初以360天为一年。将圆周分为360度，太阳就每天行一度。又圆内恰好可以连续作6条等于半径长的弦，每一条弦所对的长是60度，基数60或者由此而来。但根据考证，巴比伦人很早就知道太阳年是365日，太阴年（12个月）是354或355日，因此这种假说很难成立。康托尔后来也放弃了这种说法。

（2）60这个数字的选择是因为它是许多简单数字2，3，4，5，6，10，12，……的倍数，从而它的12，13，14，15，……都是整数，用起来比较方便。这种想法早在希腊时代的赛翁就已指出，近年来又有勒夫勒等人提倡。然而有人认为这是违反历史事实的，因为记数制度不可能由某些学者为了"科学目的"自由创造出来，而是悠久历史发展的结果。

（3）克维奇（G。Kewitsch）在1904年提出，当时两河流域有两个民族，1个用10进制，一个用6进制。两种制度混合调和就形成60进制。10进制是容易理解的，因为人们用10个指头来计算，而6进制是用一只手来计算，5个指头表示1至5，握拳表示6，6以上，就要进位了。其实有几种意见认为是和指算有关。用手指计算的确在某些地区和年代流行过，甚至在近代也是如此。像我国也有"掐指一算"的说法。

总之，对于基数60的起源，至今还没有一致公认的看法。中国在殷商时代（公元前16-11世纪），就开始用干支纪日、纪年，从甲子起，60一个循环，周而复始，叫做六十花甲子。可以说和巴比伦异曲同工，不过没有发展为进位值。

＊希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了"三角学之父"的称谓。

词汇

sin正弦：sine

cos余弦：e

ta

cot余切：t

set

csc余割：t

versin正矢：versedsine

covers余矢：coversedsine或versede

基本公式

同角三角函数关系式

o平方关系：

sin^2（α）+cos^2（α）=1

cos（2a）=cos^2（a）-sin^2（a）=1-2sin^2（a）=2cos^2（a）-1

sin（2a）=2sin（a）cos（a）

tan^2（α）+1=1cos^2（α）

2sin^2（a）=1-cos2（a）

cot^2（α）+1=1sin^2（a）