落秋文学

第三章 与傅立叶有关的科学概念（第2页）

傅里叶变换的不同变种

连续傅里叶变换

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一般情况下，若"傅立叶变换"一词的前面未加任何限定语，则指的是"连续傅里叶变换"。"连续傅里叶变换"将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

f（t）=mathega）]=frac{sqrt{2pi}}intlimits_{-infty}^inftyF（omega）e^{iomegat}，domega。

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F（ω）的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f（t）的积分形式。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F（ω）为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅立叶变换对（transformpair）。

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（FraalFourierTransform）。

当f（t）为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换（etransform）或正弦转换（siransform）。

另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F（?ω）=F（ω）*成立。

傅里叶级数

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连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

f（x）=sum_{n=-infty}^{infty}F_n，e^，

其中Fn为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

f（x）=fra_{n=1}^i[a_nx）+b_nsin（nx）right]，

其中an和bn是实频率分量的振幅。

离散时间傅里叶变换

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离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。

离散傅里叶变换

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为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数xn表示为下面的求和形式：

x_n=frac1sum_{k=0}^X_ke^{ifra}qquadn=0，dots，N-1

其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为math^2），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathlogn）。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dualgroup）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。

时频分析变换

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小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。

变换时间频率