落秋文学

2 对代数学介绍（第1页）

2。对代数学介绍

代数学

分支之一

数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

方程理论

初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。

算术

代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为"堆，'（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？

古希腊时代

几何学明显地从数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以致于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：量被解释为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。现代数学中保留的称二次幂为"平方"，三次幂为"立方"，就是来源于此。古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号和应用负数之例。其问题构思精巧，解题方法极多，但最大的缺点是没有解方程的一般方法。

衰微

公元4世纪以后，希腊数学开始衰微，但印度和中东地区的数学却获得了相当可观的发展。7－8世纪的印度数学家主要研究不定方程的解法。在婆罗摩笈多的著作中，还给出了二次方程x2+px-q=0的一个根的公式x=及某些不定方程的通解的一般形式。印度人已经用缩写文字和一些记号来表示未知数和运算。

在古代

只有希腊几何学从数学中分离出来，算术与代数在很长时期内都是交错在一起的。人们只能从中归纳出具有代数特点的问题，作为代数学的历史痕迹。代数学发展成为一门独立的数学分支应归功于中世纪的阿拉伯人。阿拉伯数学家系统地研究了二次方程的解法，确定了解方程求未知量是代数学的基本特征，建立了解方程的变形法则，还特别创造了三次方程的几何解法。花拉子米的《代数学》传到欧洲后，作为标准课本流行了几百年，而奥马o海亚姆关于"代数学是解方程的科学"的观念一直保持到19世纪末。

光辉的成就

中国古代在代数学方面有光辉的成就。在古代数学名著《九章算术》（公元1

《九章算术》

世纪）中，记载了用算筹解一次联立方程组的一般方法。所采用的"正负术"中给出了负数的概念，建立了正、负数的运算法则。中国古代把开各次方和解二次以上的方程，统称为"开方"。在《周髀算经》和赵爽注以及《九章算术》和刘徽注中已经有完整的开平方法和开立方法。在二次方程x2＋ax＝A的数值解法和求根公式这两方面也有一定的成就。唐初王孝通的《缉古算经》的大部分内容是求三次方程的正根，还发展了三次方程的数值解法。宋元时期，中国数学家对高次方程的研究取得更加辉煌的成就。北宋数学家贾宪提出了著名的"开方作法本源图"（即贾宪三角）和增乘开方法，并用来解决二项方程近似根求法。南宋秦九韶把增乘开方法运用于高次方程，在高次方程数值解法问题上做出了具有世界意义的重大贡献。金、元之际数学家李冶研究列一元方程式的方法，创立"天元术"；元朝数学家朱世杰又把这种方法推广到多元高次方程组，创立"四元术"，为代数学的发展做出了新的贡献。

中世纪的欧洲

在中世纪的欧洲，对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波那契，他的《

斐波那契

算盘书》（1202）是这一时期最重要的数学著作，其中系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数。书中载有一个有趣的"兔子繁殖问题"（见斐波那契兔子问题），导致有名的斐波那契级数的研究，后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质，至今仍有人在研究，美国人在20世纪60年代初还创办《斐波那契季刊》，专门刊登这方面的新发现。

二次方程的求根公式

在花拉子米时代就已经得到，但三次、四次方程的求根公式却直到15世纪末还没有得到。16世纪上半叶，意大利数学家塔尔塔利亚首先得到了三次方程的一般解法，其方法却由另一位意大利数学家卡尔达诺抢先在他的著作《大术》（1545）中公布，为此引出一场风波，其中包括400多年前的著名的数学竞赛。三次方程的求根公式以"卡尔达诺公式"流传下来。四次方程的一般解法由卡尔达诺的学生费拉里得到。